Um poliedro toroidal apresentado por Ruslan Mizhaev combina oito faces planas, três buracos, 24 vértices e 36 arestas. A configuração foi projetada para que cada face tenha ao menos uma aresta em comum com todas as outras, uma propriedade que torna a estrutura especialmente difícil de construir e verificar.
O objeto recebeu o nome de poliedro de gênero 3 e foi descrito em um estudo disponível na plataforma arXiv. Cada face tem nove lados, enquanto três faces se encontram em cada vértice. A vizinhança entre as faces, porém, não ocorre sempre da mesma maneira: 20 pares compartilham uma única aresta, e outros oito dividem duas.
A geometria das alças
A estrutura faz parte dos poliedros toroidais, categoria que reúne formas com um ou mais buracos. Na topologia, ramo da matemática voltado às propriedades que permanecem quando uma figura é esticada, torcida ou comprimida, esses túneis são chamados de alças. Uma rosquinha tem uma alça; o poliedro apresentado por Mizhaev tem três.
A organização lembra formas como o tetraedro e o poliedro de Szilassi, nas quais todas as faces também são vizinhas. A diferença está no fato de que, na nova construção, alguns pares de faces se encontram ao longo de duas arestas, e não somente de uma.
Da ideia abstrata ao objeto verificável
Definir matematicamente quais vértices, arestas e faces devem se conectar não basta para produzir uma figura tridimensional. É preciso demonstrar que as relações podem ser realizadas sem cruzamentos indevidos entre partes da superfície. As coordenadas inteiras dos 24 vértices, apresentadas no novo trabalho, ajudam nessa etapa.
Junto com equações, esses dados permitem que outros matemáticos reproduzam o poliedro e verifiquem se as faces são planas, se a superfície se fecha e se a estrutura não apresenta interseções inadequadas. A forma básica já havia sido descrita em 2020.
Mizhaev encontrou a propriedade durante experimentos com superfícies poliédricas em um software de desenho assistido por computador. Para a versão mais recente, também usou o ChatGPT em parte dos cálculos de verificação e na elaboração de scripts em Python. A construção original, segundo ele, foi desenvolvida em 2020, antes do uso da ferramenta.
A criação de poliedros desse tipo não segue um método confiável único. Pesquisadores podem recorrer a buscas computacionais, à intuição geométrica e a modelos físicos. Outra possibilidade é montar um conjunto de equações para determinar a posição de cada vértice e o encaixe das faces, mas essa abordagem pode se tornar complexa rapidamente.
